Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）过点C（1，4）作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E．直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得△OCD与△CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把A，B，C三点代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式．
（2）两三角形相似，已有两个直角相等，那么夹直角的两边对应成比例；注意对应边的不同可分两种情况进行分析．

解答：解：（1）由题意得：

25a+5b+c=0 36a+6b+c=0 a+b+c=4

．
解得

a=-1 b=5 c=0

．
故抛物线的函数关系式为y=-x²+5x；

（2）存在P，使得△OCD∽△CPE．
设P（m，n），
∵∠ODC=∠E=90°
故CE=m-2，EP=6-n
若要△OCD∽△CPE，则要

OD

CE

=

DC

EP

或

OD

EP

=

DC

CE

即

6

m-2

=

2

6-n

或

6

6-n

=

2

m-2

解得m=20-3n或n=12-3m
又因为（m，n）在抛物线上，
 

m=20-3n n=-m2+5m

或

n=12-3m n=-m2+5m

．
解得

m1= 10 3 n1= 50 9

，即

m2=2 n2=6

，
或

m1=2 n1=6

，即

m2=6 n2=-6

，
故P点坐标为（

10

3

，

50

9

）和（6，-6）．

点评：本题是一道涉及函数、相似、三角等知识的综合题，解决第3题的关键在于通过观察得出对结果的合理猜想在进行证明，难度应该不会很大．