Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，M在AC上且AM=6cm，过点A（与BC在AC同侧）作射线AN⊥AC，若动点P从点A出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为1厘米/秒，设点P运动时间为t秒．
（1）经过几秒时，Rt△AMP是等腰三角形？
（2）又经过几秒时，PM⊥AB？
（3）连接BM，在（2）的条件下，求四边形AMBP的面积．

Answer 1

分析：（1）得出腰时AM=AP，即可得出答案；
（2）证△PAM∽△ACB，得出比例式，代入求出AP，即可得出答案；
（3）由勾股定理求出PM、AB，关键三角形的面积公式求出即可．

解答：（1）解：设经过x秒时，Rt△AMP是等腰三角形，
∵∠PAM=90°，
∴只能AM=AP，
∵AM=6cm，
∴AP=6cm，
即x=6（秒），
答：经过6秒时，Rt△AMP是等腰三角形；


（2）解：设经过t秒时，PM⊥AB，
∵PM⊥AB，AN⊥AC，∠C=90°
∴∠PAM=∠4=∠C=90°，
∴∠3+∠2=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴△ACB∽△PAM，
∴

AP

AC

=

AM

BC

，
∴

x

8

=

6

6

，
x=8，
8-6=2，
答：又经过2秒时，PM⊥AB；

（3）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，
同理可求PM=10，
∵PM⊥AB，
∴四边形AMBP的面积S=

1

2

AB×PM=

1

2

×10×10=50，
答：四边形AMBP的面积是50．

点评：本题考查了三角形的面积，相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度不大．