Question

如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（

3

，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA=MB，则△ABO的内切圆⊙O₁的半径r₁=

 

；若⊙O₂与⊙O₁，l，y轴分别相切，⊙O₃与⊙O₂，l，y轴分别相切，…，按此规律，则
⊙O₂₀₀₈的半径r₂₀₀₈=

 

．

Answer 1

分析：本题可将三角形ABO分解成三个三角形，再根据三个三角形的面积之和等于△ABO的面积，即可得出半径的值，再根据题意依次列出⊙O₂，⊙O₃…的半径大小，找出规律即可．

解答：解：（1）设半径为R；
∵M是AB的中点，
∴B（0，2），A（2

3

，0），
则S_OO1B=

1

2

×OB×R=R，
S_AO1O=

1

2

×AO×R=

3

R
S_AO1B=

1

2

×AB×R=

1

2

×

22+(2 3 )2

×R=2R
S_AOB=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
∵S_AOB=S_OO1B+S_AO1O+S_AO1B=（3+

3

）R=2

3

，
∴R=

2 3

3+ 3

=

3

-1；

（2）根据题意得：R₁=

3

-1，R₂=

3 -1

3

，R₃=

3 -1

32

…
∴Rn=

3 -1

3n-1

，
依此类推可得：R₂₀₀₈=

3 -1

32007

．

点评：本题考查的是三角形的性质，解此类题目时要根据题意列出不等式，适当地对图形进行分解，然后再解题．