Question

（2013•松江区模拟）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D为BC中点，连结AD，过点D作DE⊥AD，交AB的延长线于E．
（1）若AD=

7

，求△ABC的面积；
（2）求

BE

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC中，∠C所对的直角边是斜边的一半，则AC=2AB．设AB=k，则AC=2k，BC=

3

k；然后，由中点的性质、结合在Rt△ABD中的勾股定理求得k的值；最后，根据直角三角形的面积公式来求△ABC的面积；
（2）由相似三角形△ABD∽△DBE的对应边成比例证得

AB

BD

=

BD

BE

，然后把相关线段的长度代入该比例式即可求得线段BE的长度，再将其代入所求的代数式求值即可．

解答：解：（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=30°，
∴AC=2AB
设AB=k，则AC=2k，BC=

3

k，
∵D为BC中点，
∴BD=DC=

3

2

k
在Rt△ABD中，AB²+BD²=AD²，AD=

7

∴k²+（

3

2

k）²=（

7

）²
∴k=2
∴AB=2，BC=2

3

∴S△ABC=

1

2

BC•AB=

1

2

×2

3

×2=2

3

；

（2）∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠E=90°
∵∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠E
∵∠ABD=∠DBE=90°，
∴△ABD∽△DBE
∴

AB

BD

=

BD

BE

∴

k

3 2 k

=

3 2 k

BE

，
∴BE=

3

4

k
∴

BE

AB

=

3 4 k

k

=

3

4

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．