题目内容

如图，?ABCD中，对角线AC长为10cm，∠BAC=45°，∠DAC=30°．点P从点A出发，以1cm/s的速度，沿AC向点C作匀速运动，到点C停止运动．以点P为圆心，PA长为半径作圆．设点P运动的时间为t（s）．
（1）⊙P与平行四边形ABCD的某一边所在直线相切时，求t的值；
（2）若⊙P与AC、AD所在的直线交于E、F两点，设四边形ABEF的面积为s，试求出s与t的函数关系式．
分析：（1）分别根据当⊙P与BC相切时，当⊙P与DC相切时利用切线的性质以及锐角三角函数关系得出答案即可；
（2）根据四边形ABEF的面积为s=S△AEF+S△ABE，分别得出两三角形面积即可．
解答：解：（1）如图1，当⊙P与BC相切时，设切点为M，连接MP，
∵?ABCD中，∠DAC=30°，
∴∠MCP=30°，
∴MP=
1
2
PC，
∵AP=MP=t，
∴PC=2t，
∴t+2t=10，
解得：t=
10
3
；
如图2，当⊙P与DC相切时，设切点为F，连接FP，
∵?ABCD中，∠BAC=45°，
∴∠PCF=45°，
∴PC=
2
PF，
∵AP=FP=t，
∴PC=
2
t，
∴t+
2
t=10，
解得：t=10
2
-10；

（2）如图3，连接BE，EF，过点B作BN⊥AC于点N，
∵AE是⊙P的直径，∠CAD=30°，
∴EF=
1
2
AE=t，
∴AF=
3
t，
∴S△AEF=
1
2
×AF×EF=
3
2
t2，
设AN=x，则BN=x，NC=10-x，
∴tan∠BCN=
BN
NC
=
x
10-x
=
3
3
，
解得：x=5
3
-5，
∴S△ABE=
1
2
×BN×AE=
1
2
×（5
3
-5）×2t=（5
3
-5）t，
∴四边形ABEF的面积为s=S△AEF+S△ABE=
3
2
t2+（5
3
-5）t．
点评：此题主要考查了切线的性质以及三角形面积求法和锐角三角函数关系，利用已知得出B到AC的距离是解题关键．
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5
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12
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．
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10
10
cm．

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