Question

【题目】如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．

（1）求证：CB平分∠ACE；

（2）若BE＝，CE＝2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

(1)如图，连接OB，如图，利用切线的性质得到OB⊥AB，则OB∥CE，根据平行线的性质得∠1＝∠3，加上∠1＝∠2，所以∠2＝∠3；

(2)如图，连接BD，先利用勾股定理计算出BC＝，再证明△DBC∽△BEC，然后利用相似比求出CD的长，从而得到⊙O的半径．

(1)如图，连接OB，

∵AB是⊙O的切线，

∴OB⊥AB，

∵CE⊥AB，

∴OB∥CE，

∴∠1＝∠3，

∵OB＝OC，

∴∠1＝∠2，

∴∠2＝∠3，

∴CB平分∠ACE；

(2)如图，连接BD，

∵CE⊥AB，

∴∠E＝90°，

∴BC＝，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DBC＝90°，

∴∠E＝∠DBC，

由(1)得∠2＝∠3，

∴△DBC∽△BEC，

∴CD：BC＝BC：CE，

∴CD＝，

∴⊙O的半径为．