Question

22、如图，F为正方形ABCD的对角线AC上一点，FE⊥AD于点E，M为CF的中点．
（1）求证：MB=MD；
（2）求证：ME=MB．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质及SAS定理可直接求出△BCM≌△DCM，利用全等三角形的性质求解即可；
（2）取DE的中点N，连接MN，根据梯形的中位线定理可求出MN∥CD，MN⊥DE，可求出MN是线段DE的垂直平分线，即△DEM是等腰三角，由等腰三角形的性质即可解答．

解答：解：（1）证明：
因为四边形ABCD是正方形，
所以BC=DC，∠BCM=∠DCM，（1分）
又MC=MC，所以△BCM≌△DCM，
所以MB=MD；（4分）

（2）证明：在直角梯形DEFC中，CD∥FE，
取DE的中点N，连接MN，
因为M为CF的中点，所以MN∥CD，（6分）
又CD⊥DE，所以MN⊥DE，
所以MN是线段DE的垂直平分线，
所以MD=ME，（7分）
由（1）知，MB=MD，所以ME=MB．（8分）

点评：此题比较简单，考查的是正方形的性质及等腰三角形的判定定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角梯形的中位线求解．