Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝．O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC．

(1)从图中找一对相似三角形(不添加任何字母和辅助线)，并证明你的结论；

(2)若AD＝2，AE＝1，求CD的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)答案不惟一，如△ADE∽△ABD．证明：∵AC与⊙O切于点D，∴∠ADE＝∠ABD．∴∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD; 　　(2)解法一：∵∠ABC＝．OB是半径，∴CB切⊙O于点B．∵AC切⊙O于点D，∴CB＝CD．∵AC切⊙O于点D，∴AD2＝AE·AB．∵AD＝2，AE＝1，∴AB＝4．设CD＝CB＝x，则(x＋2)2＝x2＋42．解这个方程，得x＝3．即DC＝3．解法二(略解)：∵AD2＝AE·AB，∴AB＝4，∴BE＝3．∵∠ABC＝，OB是半径，∴CB切⊙O于点B．∴OC⊥DB∴DE∥OC．＝，∴DC＝3