Question

如图，A为x轴正半轴上一点，B为OA的中点，线段OB、AB的垂直平分线分别交双曲线y=

k

x

（x＞0）于P、Q两点．若S_{四边形OAQP}=4，则k=

2

．

Answer 1

分析：首先设点B的横坐标为2a（a＞0），由题意可求得点A，C，D，P，Q的坐标，又由S_{四边形OAQP}=S_△OPC+S_{四边形PCDQ}+S_△ADQ，即可得方程

1

2

k+

1

2

（

k

3a

+

k

a

）×2a+

1

2

×

k

3a

×a=4，继而求得k的值．

解答：解：设点B的横坐标为2a（a＞0），
∵B为OA的中点，
∴点A的横坐标为4a，
∵线段OB、AB的垂直平分线分别交双曲线y=

k

x

（x＞0）于P、Q两点，设与x轴的交点分别为C，D．
∴点P的横坐标为a，点Q的横坐标为3a，
∴点P的坐标为：（a，

k

a

），点Q的坐标为：（3a，

k

3a

），
∵S_{四边形OAQP}=4，
∴S_{四边形OAQP}=S_△OPC+S_{四边形PCDQ}+S_△ADQ=

1

2

k+

1

2

（

k

3a

+

k

a

）×2a+

1

2

×

k

3a

×a=4，
∴2k=4，
解得：k=2．
故答案为：2．

点评：此题考查了反比例函数的几何意义、线段垂直平分线的性质以及四边形的面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．