Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点．

（1）求证：四边形EMCN是矩形；

（2）若AD=2，S_梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽．

Answer 1

考点：

直角梯形；矩形的判定与性质

专题：

几何综合题．

分析：

（1）根据轴对称的性质可得AD=DF，DE⊥AF，然后判断出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠DAF=∠EDF=45°，根据两直线平行，内错角相等求出∠BCE=45°，然后判断出△BGE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根据矩形的判定证明即可；

（2）判断出△BCD是等腰直角三角形，然后根据梯形的面积求出CD的长，再根据等腰直角三角形的性质求出DN，即可得解．

解答：

（1）证明：∵点A、F关于BD对称，

∴AD=DF，DE⊥AF，

又∵AD⊥DC，

∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，

∴∠DAF=∠EDF=45°，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠GAF=45°，

∴△BGE是等腰直角三角形，

∵M，N分别是BG，DF的中点，

∴EM⊥BC，EN⊥CD，

又∵AD∥BC，AD⊥DC，

∴BC⊥CD，

∴四边形EMCN是矩形；

（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BC=CD，

∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•CD=（2+CD）•CD=，

即CD²+2CD﹣15=0，

解得CD=3，CD=﹣5（舍去），

∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=AD=2，

∵N是DF的中点，

∴EN=DN=DF=×2=1，

∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，

∴矩形EMCN的长和宽分别为2，1．

点评：

本题考查了直角梯形的性质，轴对称的性质，矩形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质判断出相关的等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．