Question

如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：

（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．

Answer 1

证明：（1）如图，连接OB，则∠BAE=∠BOC，

∵OF⊥BC，∴∠COF=∠BOC。
∴∠BAE=∠COF。
又∵AC⊥BD，OF⊥BC，∴∠OFC=∠AEB=90°。
∴△AEB∽△OFC。
（2）∵△AEB∽△OFC，∴，即。
由圆周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE。∴。
∴。
∵OF⊥BC，∴BC=2CF。
∴AD =2FO。

试题分析：（1）连接OB，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BOC，根据垂径定理可得∠COF=∠BOC，再根据垂直的定义可得∠OFC=∠AEB=90°，然后根据两角对应相等，两三角形相似证明即可；
（2）根据相似三角形对应边成比例可得，再根据圆周角定理求出∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，然后求出△ADE和△BCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到，再根据垂径定理BC=2FC，代入整理即可得证。