题目内容

（2013•香坊区二模）在△ABC中，H为BC边上一点，连接AH，且∠BAH=∠BCA，∠ABC的角分线分别交AH、AC于D、E两点，过点D作DF∥BC交于点F．
（1）如图1，求证：AD=FC；
（2）如图2，若BD=BH，且AE=2EF，作BM⊥DH，垂足为M，BM的延长线交AC于点G，请探究线段DF与CG之间的数量关系，并证明你的结论．
分析：（1）过D作DP∥AC交BC于点P，∵DP∥AC，DF∥BC根据平行四边形性质得出FC=DP，∠C=∠DPH，求出∠DPH=∠ABD，证△ABD≌△PBD，推出AD=DP即可；
（2）求出AD=AE，证△FDE∽△FAD，推出DF2=EF•AF，
DE
AD
=
EF
DF
，设AE=2a，EF=a，求出DF=
3
a，DE=
2
3
3
a，根据DF∥BC得出
DF
BC
=
EF
EC
，
EF
FC
=
DE
BD
，求出BC=3
3
a，BD=
4
3
3
a，延长DF交BG延长线于点Q，求出BD=DQ=
4
3
3
a，QF=
1
3
3
a，证△FGQ∽△CGB求出GC=
9
5
a，即可得出答案．
解答：证明：（1）过D作DP∥AC交BC于点P，
∵DP∥AC，DF∥BC，
∴四边形FDPC是平行四边形，
∴FC=DP，∠C=∠DPH，
∵∠BAH=∠C，
∴∠DPH=∠ABD，
∵在△ABD与△PBD中
∠BAD=∠BPD
∠ABD=∠PBD
BD=BD

∴△ABD≌△PBD（AAS），
∴AD=DP，
∵DP=FC．

（2）DF=
5
3
9
GC，
证明：∵BD=BH，
∴∠BDH=∠BHD，
∵∠BDH=∠ABD+∠BAD，∠BEA=∠EBC+∠BCA，∠ABD=∠EBC，∠BAD=∠BCA，
∴∠AED=∠BDH=∠BHD=∠ADE，∠ABD=∠HAC=∠DBH，
∴AD=AE，
∵DF∥BC，
∴∠EDF=∠EBC=∠DAE，
∵∠DFE=∠DFE，
∴△FDE∽△FAD，
∴DF2=EF•AF，
DE
AD
=
EF
DF
，
设AE=2a，EF=a，
∴AD=FC=2a，DF2=a•（2a+a）=3a2
∴DF=
3
a，
∴
DE
2a
=
a
3
a

∴DE=
2
3
3
a，
∵DF∥BC，
∴
DF
BC
=
EF
EC
，
EF
FC
=
DE
BD
，
∴
3
a
BC
=
a
a+2a
，
a
2a
=
2
3
3
a
BD
，
∴BC=3
3
a，BD=
4
3
3
a，
延长DF交BG延长线于点Q，
∴∠Q=∠QBC=∠QBD，
∴BD=DQ=
4
3
3
a，
∴QF=DQ-DF=
4
3
3
a-
3
a=
1
3
3
a，
∵∠BGC=∠FGQ，
∴△FGQ∽△CGB，
∴
QF
BC
=
FG
GC
=
FC-GC
GC
，
∴
1
3
3
a
3
3
a
=
2a-GC
GC
，
∴GC=
9
5
a，
∴
DF
GC
=
3
a
9
5
a
=
5
3
9

∴DF=
5
3
9
GC．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形外角性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，难度偏大．
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27
-
3
3
=
2
3
2
3
．

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