Question

如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠AND=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：
①当AM的值为

2

时，四边形AMDN是矩形；         
②当AM的值为

4

时，四边形AMDN是菱形．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的性质和已知条件可证得△NDE≌△MAE，即可利用四边形AMDN的对角线互相平分证得四边形AMDN是平行四边形；
（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=

1

2

AD=2时即可；
②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．

解答：（1）证明：∵四边新ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DNE=∠AME，
∵点E是AD边的中点，
∴AE=DE，
在△NDE和△MAE中，

∠DNE=∠AME ∠DEN=∠AEM DE=AE

，
∴△NDE≌△MAE（AAS），
∴NE=ME，
∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）解：①当AM的值为2时，四边形AMDN是矩形．
理由如下：
∵AM=2=

1

2

AD，
∴∠ADM=30°
∵∠DAM=60°，
∴∠AMD=90°，
∴平行四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为4时，四边形AMDN是菱形．
理由如下：
∵AM=4，
∴AM=AD=4，
∴△AMD是等边三角形，
∴AM=DM，
∴平行四边形AMDN是菱形．
故答案为；（1）2，（2）4．

点评：本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定以及等边三角形的判定和性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．