题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，D、E分别为边AB、AC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AE-ED-DB运动，到点B停止．点P在折线AE-ED上以每秒1个单位的速度运动，在DB上以每秒个单位的速度运动. 过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边在PQ右侧作正方形PQMN，使点M落在线段BC上．设点P的运动时间为秒（）.

（1）在整个运动过程中，求正方形PQMN的顶点N落在AB边上时对应的的值；

（2）连结BE，设正方形PQMN与△BED重叠部分图形的面积为S，请直接写出S与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；

（3）当正方形PQMN顶点P运动到与点E重合时，将正方形PQMN绕点Q逆时针旋转60°得正方形

P1 Q M1 N1，问在直线DE与直线AC上是否存在点G和点H，使△GHP1是等腰直角三角形? 若

存在，请求出EG的值；若不存在，请说明理由．

 

【答案】

（1）t="2s" （2） （3）在直线DE与直线AC上存在点G和点H，使△GHP1是等腰直角三角形，

【解析】

试题分析：（1）当点P在AE上时， 由△APN∽△ACB得

∴       ∴t=2s         

当点P在ED上时，PN="3" ，∴AE+EP=3+6-3=6  ∴t=6s   

（2） 

（3）在直线DE与直线AC上存在点G和点H，使△GHP1是等腰直角三角形. 理由如下：

过P1作P1S⊥AC于S, P1R⊥DE于R,

分别是图1 2 3 4

∵∠P1QS=60°，P1Q=3，

∴P1S=RE=, QS

∴P1R=SE=.

当∠P1GH=90°时,

可证△P1RG≌△GEH，则EG= P1R= 

当∠P1HG=90°时, （如图3、4）

可证△P1SH≌△HEG，

∴EH=P1S=，EG=SH,

考点：相似三角形，全等三角形，函数关系式

点评：本题考查相似三角形，全等三角形，函数关系式，解答本题需要掌握相似三角形，全等三角形的判定方法，并会证明

 

练习册系列答案
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（2013•莆田质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CD=6，AC=8，求AE．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD和BD分别是∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于点D，求点D到BC的距离．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将三角板中一个30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直．
（1）画出符合条件的图形．连接EF后，写出与△ABC一定相似的三角形；
（2）设AD=x，CF=y．求y与x之间函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△CEF与△DEF相似，求AD的长．
如图，在Rt△ABC中，BD⊥AC，sinA=
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，则cos∠CBD的值是（　　）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE，点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止．点P在AD上以
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cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为
（t-2）
（t-2）
cm，（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AB边上时，求t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．

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