Question

【题目】附加题：如图，是斜边上的高，到点的距离等于的所有点组成的图形记为，图形与交于点，连接．

（1）依题意补全图形，并求证：平分；

（2）如果，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

（1）依据题意画出图形，根据∠OAB=90°，OA=OD可得出∠ODA+∠BAD=90°，结合AC⊥OB可得∠BAD=∠CAD，即可证明；

（2）过点C作AD的平行线与BA延长线交于点E，根据题干求出BC，利用勾股定理求出AC和AB，利用平行线的性质结合∠CAD =∠BAD得出AE=AC和，从而确定，利用BC的长可求出BD.

解：（1）由题意可得图形G是以点O为圆心，以OA为半径的圆，

∵∠OAB=90°，

∴∠OAD+∠BAD=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA+∠BAD=90°，

∵AC⊥OB，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠ODA=90°，

∴∠BAD=∠CAD，

∴AD平分∠BAC；

（2）如图所示，

过点C作AD的平行线与BA延长线交于点E，

∵AC=6，tanB=，

∴，

∴BC=8，

∴AB=，

∵CE∥AD，

∴∠CAD=∠ACE，∠BAD=∠E，

∵∠CAD =∠BAD，

∴∠ACE =∠E，

∴AE=AC，

∵CE∥AD，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵CB=8，

∴CD=3,

∴BD=5.