Question

如图，AB为⊙O的直径，点C、E在半圆AB上，CF⊥AB于点F，BE交CF于点D，且∠BDF=2∠C
（1）求证：=；
（2）若CF=8，OA=10，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：延长CF交⊙O于M，
∵CF⊥AB，
∴，
∵∠BDF=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴，
∴，

（2）解：连接OC，交BE于H，
∵，
∴OH⊥BE，
∵AB直径，
∴∠E=90°，
∴OH∥AE，
∴OH=AE，
∵在△OBH和△OCF中，
，
∴△OBH≌△OCF（AAS），
∵OA=10，
∴OB=OC=10，
∴AB=20，
∴OH=OF=，
∴AE=12，
∴BE===16．

分析：（1）延长CF交⊙O于M，由CF⊥AB，推出，再由∠BDF=2∠C，推出∠C=∠DBC，求得后即可推出结论，
（2）连接OC，交BE于H，根据（1）所推出的结论求得OH⊥BE，由AB直径，推出∠E=90°，求证OH∥AE，根据平行线的性质推出OH=AE后，通过求证△OBH和△OCF全等，结合勾股定理即可推出OH=OF=6，求出AE后，根据勾股定理即可求出BE=16．
点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，垂径定理及圆周角定理等知识点，关键在于熟练应用相关的性质定理，（1）正确的做出辅助线，根据外角的性质，垂径定理，圆周角，弦的关系推出，，（2）连接OC后，根据相关的性质定理推出OH⊥BE，正确的推出OH=AE，关键在于求证△OBH≌△OCF．