Question

设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF=45°，AP⊥EF于点P。
（1）求证：AP=AB；
（2）若AB=5，求△ECF的周长。

Answer 1

解：（1）延长CB到F′，使BF′=DF， 在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠D=90°， ∴∠ABF′=180°﹣∠ABC=90°=∠D， ∴△ABF′≌△ADF（SAS）， ∴AF′=AF，∠1=∠2， ∴∠EAF′=∠1+∠3=∠2+∠3=90°﹣∠EAF=45°=∠EAF， 又∵EA=EA， ∴△EAF′≌△EAF（SAS）， ∴EF′=EF，S△AEF'=S△ABF， 而EF·AB=EF·AP， ∴AB=AP； （2）C△CEF=EC+CF+EF=EC+CF+EF′ =EC+BE+CF+BF′ =BC+CF+DF =BC+CD=2AB =10。