Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①BE=AF，②S_△EPF的最小值为

1

2

，③tan∠PEF=

3

3

，④S_{四边形AEPF}=1，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论始终正确是

 

．

Answer 1

分析：根据全等三角形的判定和等腰三角形的性质，对题中选项一一证明，得出正确结果．

解答：解：连接PA．
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC的中点，
∴PA=PC，∠APC=90°，∠PAE=∠PCF=45°．
∵∠FPE=∠APC=90°，
∴∠CPF=∠APE．
∵PA=PC，∠PAE=∠PCF，
∴△CFP≌△AEP．
∴AE=CF．
∵AB-AE=AC-CF，
∴BE=AF，故①始终正确；
∵△CFP≌△AEP，
∴PE=PF．
∵∠EPF=90°，
∴△EPF为等腰直角三角形．
∴∠PEF=45°．
∴tan∠PEF=1，故③错误；
∵PA=BP，∠B=∠PAF，BE=AF，
∴△EBP≌△PAF．
∵S_△EBP+S_△AEP+S_△PAF+S_△CFP=S_△ABC，S_△AEP+S_△PAF=S_{四边形AEPF}
∴S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC=

1

2

（2×2÷2）=1，故④正确；
∴S_△EPF的最小值为

1

2

，故②正确．
故选①②④．

点评：本题把全等三角形的判定和等腰三角形的性质结合求解．综合性强，难度较大．考查学生综合运用数学知识的能力．