Question

【题目】如图，C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△HAC与等边△DCB，连接DH．
（1）如图1，当∠DHC=90°时，求 的值；
（2）在（1）的条件下，作点C关于直线DH的对称点E，连接AE、BE，求证：CE平分∠AEB；
（3）现将图1中△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△HAC与△DCB都是等边三角形，

∴∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，

∴∠HCD=180°﹣∠ACH﹣∠DCB=60°，

∵∠DHC=90°，

∴∠HDC=180°﹣∠DHC﹣∠HCD=30°，

∴CD=2CH，

∴BC=2AC，

∴ =2；

（2）解：如图1，

由对称性得∠EHD=90°，EH=HC，

∵AH=HC，

∴EH=AH，

∵∠DHC=90°，

∴E，H，C三点共线，

∴∠AEC= ∠AHC=30°，

由（1）可得BC=2CH=EC，

∴∠BEC= ∠ACE=30°，

∴∠AEC=∠BEC，即CE平分∠AEB；

（3）解：结论仍然正确，理由如下：

如图2，

由对称性可知：HC=HE，

又∵AH=HC，

∴HC=HA=HE，

∵A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，

∴∠AEC= ∠AHC=30°，

同理可得，∠BEC= ∠BDC=30°，

∴∠AEC=∠BEC，

∴EC平分∠AEB．

【解析】（1）根据△HAC与△DCB都是等边三角形，可得∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，进而得出∠HDC=180°﹣∠DHC﹣∠HCD=30°，得出CD=2CH，即可得到BC=2AC，最后求得 的值；（2）先由对称性得∠EHD=90°，EH=HC，根据E，H，C三点共线，以及三角形外角性质，得出∠AEC= ∠AHC=30°，由（1）可得BC=2CH=EC，得出∠BEC= ∠ACE=30°，即可得出CE平分∠AEB；（3）由对称性可知：HC=HE，进而得出A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，据此得到∠AEC= ∠AHC=30°，而同理可得，∠BEC= ∠BDC=30°，最后得出EC平分∠AEB．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°，以及对圆周角定理的理解，了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．