Question

已知抛物线y=x²+px+q上有一点M（x₀，y₀）位于x轴的下方．
（1）求证：抛物线必与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0），其中x₁＜x₂；
（2）求证：x₁＜x₀＜x₂；
（3）当点M为（1，-1997）时，求整数x₁、x₂．

Answer 1

分析：（1）由点M（x₀，y₀）位于x轴的下方可以得到

y0＜0 y0=x02+px0+q=(x0+ p 2 )2- p2-4q 4

，而△=p²-4q，由此得到p2-4q=4(x0+

p

2

)2-4y0≥-4y0＞0，然后得到方程x²+px+q=0有两个实根，这样就可以证明题目的问题；
（2）由（1）根据根与系数的关系可以得

x1+x2=-p x1x2=q

①，代入x₀²+px₀+q=y₀＜0可以得不等式x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂＜0，即（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，由此即可解决问题；
（3）由M在抛物线上，而x₁，x₂满足①可以得y₀=x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂，即-1997=（x₁-1）（x₂-1），又1997为整数，这样得到（x₁-1）、（x₂-1）均为整数，且由x₁＜x₂，知x₁-1＜x₂-1，最好可以得到 

x1-1=-1 x2-1=1997

或

x1-1=-1997 x2-1=1

，解方程组即可求解．

解答：解：（1）由点M（x₀，y₀）位于x轴的下方，
有

y0＜0 y0=x02+px0+q=(x0+ p 2 )2- p2-4q 4

得△=p2-4q=4(x0+

p

2

)2-4y0≥-4y0＞0．
∴方程x²+px+q=0有两个实根，设为x₁、x₂（x₁＜x₂）．
于是抛物线与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0）．（4分）
（2）由（1）得

x1+x2=-p x1x2=q

①
代入x₀²+px₀+q=y₀＜0，得不等式x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂＜0    
即（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0
故  x₁＜x₀＜x₂．（8分）
（3）由M在抛物线上，而x₁，x₂满足①得
y₀=x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂．即-1997=（x₁-1）（x₂-1）．
∵1997为整数，
∴（x₁-1）、（x₂-1）均为整数，且由x₁＜x₂，知x₁-1＜x₂-1，
得  

x1-1=-1 x2-1=1997

或

x1-1=-1997 x2-1=1

．
∴

x1=0 x2=1998

或

x1=-1996 x2=2

．（14分）

点评：此题是二次函数的综合题目，分别考查了一元二次方程的判别式、根与系数的关系及方程组的解法等知识，综合性很强，代数变形能力要求比较高，是一个难题，平时加强训练才能很好解决这类问题．