Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D点作DE⊥AC于E．
（1）试判断DE是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若tanB=

3

3

，DE=4

3

，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OD，再利用已知条件证∠ODE=90°即可；
（2）根据三角函数求出CD，AC的长，由于AC=AB，即得出了直径的长度．

解答：解：（1）DE是⊙O的切线．
理由如下：
如图，连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）如图，连接AD，
∵∠B=∠C，tanB=

3

3

，
∴tanC=

3

3

，
∴∠C=30°．
在Rt△DEC中
∵sinC=sin30°=

DE

CD

，
∴CD=2DE=8

3

，
在Rt△ADC中
∵cosC=cos30°=

CD

AC

，
∴

3

2

=

8 3

AC

，
∴AC=16．
∴直径AB=16．

点评：本题考查了切线的判定及解直角三角形等知识点的掌握情况．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．