Question

【题目】在平面直角坐标系中，点B、A分别在x轴和y轴上，连接AB，已知∠ABO=60°，BC平分∠ABO交y轴于点C，且BC=8．

（1）求点A的坐标；
（2）点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2个长度单位的速度运动，过点P作PQ⊥y轴于Q，设点P的运动时间为t秒，试用t表示线段CQ的长；
（3）点D是点B关于y轴的对称点，在（2）的条件下，连接OP、DQ、CD，当 时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ABO=60°，BC是角平分线，

∴∠ABC=∠CBO=30°，

在直角△BOC中，OC=BCsin∠CBO= BC=4，即C的坐标是（0，4）．

又∵直角△ABO中，∠BAO=90°﹣∠ABO=90°﹣60°=30°，

∴∠BAO=∠ABC=30°，

∴AC=BC=8，

∴OA=8+4=12，

∴A的坐标是（0，12）

（2）

解：当0≤t≤4时，如图1，P在BC上，BP=2t，则PC=8﹣2t，

在直角△PCQ中，∠CPQ=∠CBO=30°，

则CQ= PC= （8﹣2t）=4﹣t；

当t＞4时，P在BC的延长线上，如图2．

BP=2t，则CP=2t﹣8，

在直角△PCQ中，∠CPQ=30°，CQ= PC= （2t﹣8）=4﹣4

（3）

解：在直角△BOC中，OB=BCcos∠CBO=8× =4 ，则B的坐标是（﹣4 ，0），则D的坐标是（4 ，0）．

当0≤t≤4时，如图1，P在线段BC上，作PF⊥OB于点F．则PF= BP=t，则S△BOP= ×4 t=2 t，

CQ=4﹣t，则S△DCQ= （4﹣t）×4 =﹣2 t+8 ，

当 时，2 t= （﹣2 t+8 ），解得：t= ；

当t＞4时P在BC的延长线上，如图2．作PF⊥OB于点F．则PF= BP=t，则S△BOP= ×4 t=2 t，

CQ=4﹣t，则S△DCQ= （t﹣4）×4 =2 t﹣8 ，

当 时，2 t= （2 t﹣8 ），解得：t=9．

总之，t= 或9．

【解析】（1）首先在直角△BOC中，利用三角函数求得OC的长，然后证明BC=AC，则求得OA的长，得到A的坐标；（2）分成P在线段BC上和在BC的延长线上两种情况进行讨论，利用三角函数求解；（3）同（2）分成两种情况讨论，根据三角形面积公式利用t表示出△BPO和△DCQ的面积，然后解方程即可求解．
【考点精析】掌握锐角三角函数的定义是解答本题的根本，需要知道锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．