Question

如图，△ABC为等边△，EC=ED，∠CED=120゜，P为BD的中点，求证：AE=2PE．

Answer 1

分析：延长EP至F，使FP=EP，连BF、AP、AF，先可以得出△FBP≌△EDP，就有BF=DE=CE，再由条件得出∠ABF=∠ACE就可以得出△ABF≌△ACE，得出AF=AE，∠FAB=∠CAE，得出∠FAE=60°，就有△AEF为等边三角形即可得出结论．

解答：证明：延长EP至F，使FP=EP，连BF、AP、AF，
∵△ABC为等边△，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°．
∵P为BD的中点，
∴BP=DP．
在△FBP和△EDP中

BP=DP ∠FPB=∠EPD FP=EP

，
∴△FBP≌△EDP（SAS），
∴BF=DE=CE．
设∠BCE=x，∠D=∠FBP=y，
∴∠ACE=60°+x，
∴∠CBD=240°-x-y，
∴∠CBF=240゜-x，
∴∠ABF=360゜-（240゜-x）-60゜=60゜+x
∴∠ABF=∠ACE，
在△ABF和△ACE中

AB=AC ∠ABF=∠ACE BF=CE

，
∴△ABF≌△ACE（SAS）
∴∠FAB=∠CAE，AF=AE．
∴∠FAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=60°，
∴△AEF为等边三角形．
∴AE=EF．
∴EF=2PE，
∴AE=2PE．

点评：本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键．