题目内容

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-3，0）、B两点，与y轴相交于点C（0，
3
）．当x=-4和x=2时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M、N时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是等腰三角形？若不存在请说明理由；若存在，请求出F点坐标．
分析：（1）根据当x=-4和x=2时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，可以求得函数的对称轴，根据A、B对称，即可求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）根据M、N点的运动速度相同，可以得到BM=BN，进而根据翻折的性质证明，四边形BMPN是菱形，则△CPN相似于△CAB，根据相似三角形的性质，求得OD，PD的长度，则可以求得P的坐标；
（3）点F在对称轴上，则F的横坐标一定是-1，△ACF是等腰三角形，分AF=AC，CF=CA，EA=EC三种情况进行讨论，前两种情况利用t表示出AE，CE的长度，即可得到关于t的方程从而求解；第三种情况求得直线HF的解析式，再根据F的横坐标是-1，即可求解．
解答：解：（1）由题意可得，对称轴为x=
-4+2
2
=-1，
由对称性可得B点坐标为（1，0）
则设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），
又过点 C（0，
3
），代入可解得a=-
3
3

则解析式为y=-
3
3
(x+3)(x-1)，
即y=-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3


（2）∵M、N点的运动速度相同，∴BM=BN=t，
又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t
∴四边形BMPN是菱形，∴PN平行MN（即x轴）
∴△CPN相似于△CAB．
∴
PN
AB
=
CN
CB
易得AB=4，BC=2
∴
t
4
=
2-t
2
解得t=
4
3
∴NB=
4
3
，∴CN=
2
3

∴
CN
CB
=
CD
CO
=
DN
OB
，
代入可解得CD=
3
3
，DN=
1
3

∴OD=
2
3
3
，PD=1
∴P(-1，
2
3
3
)

（3）在直角△AOC中，AC=
OA2+OC2
=
9+3
=2
3
．
设F点坐标为（1，a）
①当AF=AC时，∵AC=2
3
，∴AE=
(-1+3)2+a2
=2
3

解得：a=±2
2

∴F（-1，2
2
）或（-1，-2
2
）；
②当CF=CA时，∴CE=
12+(a-
3
)2
=2
3

解得：a=
3
±
11
．
则F的坐标是（-1，
3
+
11
）或（-1，
3
-
11
）；
③当EA=EC时，E点为AC垂直平分线与对称轴的交点，中点H的坐标是（-
3
2
，
3
2
）．
设直线AC的解析式是：y=kx+b，根据题意得：
-3k+b=0
b=
3
，解得：
k=
3
3
b=
3
，
则AC的解析式是：y=
3
3
x+
3
．
∵F点为AC垂直平分线与对称轴的交点，
∴直线HF的一次项系数是-
3
．
设HF的解析式是y=-
3
x+c，把H的坐标代入得：-
3
×（-
3
2
）+c=
3
2
，解得：c=-
3
，
则HF的解析式是：y=-
3
x-
3
．
令x=-1，解得y=0，
则F的坐标是（-1，0）．
总之，F的坐标是：（-1，2
2
）或（-1，-2
2
）或（-1，
3
+
11
）或（-1，
3
-
11
）或（-1，0）．
点评：本题是考查了二次函数与菱形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式的综合应用，正确证明四边形BMPN是菱形是关键．
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1
2
，
9
8
），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
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