Question

已知抛物线y₁=a₁x²+b₁x+c₁，y₂=a₂x²+b₂x+c₂，且满足

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k(k≠0，1)，则称抛物线y₁，y₂互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法：
①y₁，y₂开口方向，开口大小不一定相同； 
②y₁，y₂的对称轴相同；
③如果y₂的最值为m，则y₁的最值为km；
④如果y₂与x轴的两交点间距离为d，则y₁与x轴的两交点间距离为|k|d．
正确的是

①②③

（请填序号）

Answer 1

分析：根据友好抛物线的条件，a₁、a₂的符号不一定相同，即可得到开口方向、开口大小不一定相同，代入对称轴-

b

2a

和

4ac-b2

4a

即可判断②、③，根据根与系数的关系求出与X轴的两交点的距离|g-e|和|d-m|，即可判断④．

解答：解：由已知可知：a₁=ka₂，b₁=kb₂，c₁=kc₂，
①根据友好抛物线的条件，a₁、a₂的符号不一定相同，所以开口方向、开口大小不一定相同，故本选项正确；
②因为

a1

a2

=

b1

b2

=k，代入-

b

2a

得到对称轴相同，故本选项正确；
③因为如果y₂的最值是m，则y₁的最值是

4a1c1-b2

4a1

=k•

4a2c2-b2

4a2

=km，故本选项正确；
④因为设直线y₁于x轴的交点坐标是（e，f），（g，h），则e+g=-

b1

a1

，eg=

c1

a1

，
直线y₂于x轴的交点坐标是（m，n），（d，p），则m+d=-

b2

a2

，md=

c2

a2

，
可求得：|g-e|=|d-m|=

b12-4a1c1 a12

，故本选项错误．
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线于X轴的交点，二次函数的最值等知识点解此题的关键是能根据友好抛物线的条件进行判断．