题目内容

对于二次函数y=（x-1）2，下列说法正确的是（　　）
分析：利用形如y=a（x-h）2的形式的二次函数的性质进行判断即可．
解答：解：∵二次函数y=（x-1）2，的对称轴为x=1，a=1＞0，
∴开口向上，当x＜1时y随x的增大而减小，
故A、B、D错误，C正确，
故选C．
点评：本题考查了二次函数的性质，牢记其y=a（x-h）2+k的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．
练习册系列答案
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对于二次函数y=3x2，y=-3x2和y=
1
3
x2，下列说法中正确的是（　　）
A、开口都向上，且都关于y轴对称
B、开口都向上，且都关于x轴对称
C、顶点都是原点，且都关于y轴对称
D、顶点都是原点，且都关于x轴对称
我们知道，对于二次函数y=a（x+m）2+k的图象，可由函数y=ax2的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数y=ax2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y=a（x+m）2+k为“基本函数”y=ax2的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离
m2+k2
称为朋友距离．
由此，我们所学的函数：二次函数y=ax2，函数y=kx和反比例函数y=
k
x
都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．
如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x的朋友函数，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=
12+32
=
10
．
（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向
 
，再向下平移7单位，相应的朋友距离为
 
．
（2）探究二：已知函数y=x2-6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离．
（3）探究三：为函数y=
3x+4
x+1
和它的基本函数y=
1
x
，找到朋友路径，并求相应的朋友距离．
对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，此时称该点精英家教网（x，y）为整点，该函数的图象为整点抛物线（例如：y=x2+2x+2）．
（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式
 
（不必证明）；
（2）请直接写出整点抛物线y=x2+2x+2与直线y=4围成的阴影图形中（不包括边界）所含的整点个数有
 
个．
（2012•松北区二模）对于二次函数y=（x+1）2-3，下列说法正确的是（　　）
对于二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（-1，n），请完成：
（1）当t=2时，求抛物线y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）的顶点坐标．
（2）判断点A是否在抛物线E上，并求出n的值．
（3）通过（2）演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，写出定点坐标．
（4）二次函数y=-3x2+5x+2是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．

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