Question

对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，此时称该点（x，y）为整点，该函数的图象为整点抛物线（例如：y=x²+2x+2）．
（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式

 

（不必证明）；
（2）请直接写出整点抛物线y=x²+2x+2与直线y=4围成的阴影图形中（不包括边界）所含的整点个数有

 

个．

Answer 1

分析：（1）由于二次项系数的绝对值小于1，可令a=

1

2

，则y=

1

2

x²+bx+c，再把一些整数如：±1，±2等代入，根据y值也为整数，即可写出符合条件的抛物线的解析式，答案不唯一；
（2）观察图形，可得出结果．

解答：解：（1）y=

1

2

x2+

1

2

x+1，
或y=

1

2

x2+

3

2

x+1．
或y=

1

2

x2+

1

2

x+2等；

（2）观察图形，可知抛物线y=x²+2x+2与直线y=4围成的阴影图形中（不包括边界）所含的整点有
（-1，2），（-1，3），（-2，3），（0，3），一共4个．

点评：本题（1）为开放性试题，答案不唯一．考查了学生读题做题的能力，同时体现了数形结合的思想．