Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵DE切⊙O于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，
又∵AD=DC，AO=OB，
∴OD∥BC，
∴∠DEC=∠ODE=90°，
∴DE⊥BC；

（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
又∵DE⊥BC，
Rt△CDB∽Rt△CED，
∴，
∴BC=，
又∵OD=BC，
∴OD=，
即⊙O的半径为．
分析：本题由已知DE是⊙O的切线，可联想到常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法．
点评：命题立意：此题主要考查圆的切线的性质、垂直的判定、圆周角的性质、三角形相似等知识．