Question

定义：若某个图形可分割成若干个都与它自己相似的图形，则称这个图形是自相似图形．

探究：(1)如图①，已知△ABC中，∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图①中画出分割线，并说明理由．

(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为4个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF(图②)第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图③)．

把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它们的各边中点所进行的分割，称为2阶分割(如图④)，……，依此规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此时小三角形的面积为S_n．

①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜S_n＜3？

②当n＞1，请写出一个反映S_n－1，S_n，S_n+1之间关系的等式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD即是满足要求的分割线．证明略． 　　(2)①观察可得，Sn＝S(S为△DEF的面积)．由此可知当△DEF的面积为10 000时，每个小三角形的面积为Sn＝．当n＝5时，S5≈9.77；当n＝6时，S6≈2.44；当n＝7时，S7≈0.61．∴当n＝6时，2＜S6＜3．②＝Sn－1Sn+1．