题目内容

设抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（x1，0）B（x2，0），x1＜0，x2＞0，交y轴精英家教网于点C，顶点为P，此抛物线的对称轴为直线x=1，且S△AOC：S△BOC=1：3．
（1）求此抛物线的解析式（用含a的式子表示）；
（2）设过A、B、C三点的圆的圆心为M，MO的延长线交⊙M于点F，当直线PC的解析式为y=-x-3时，求弧AC与半径AM、CM所围成扇形的面积及过点F且与⊙M相切的直线L的解析式？
（3）在（1）问下，△ABC能否成为钝角三角形？能否成为等腰三角形？若能，求出相应的a值或a值的范围；若不能，请说明理由．
分析：（1）根据S△AOC：S△BOC=1：3即可得到OA：OB的值，再根据对称轴，即可求得OA，OB的长，得到A，B的坐标，从而求得函数解析式；
（2）C在直线y=-x-3上，即可求得C的坐标，根据扇形的面积公式即可求得扇形的面积，然后根据三角形的相似以及互相垂直的两直线的关系求得切线的解析式；
（3）构成钝角三角形则两边的平方和大于第三边的平方，据此即可得到关于a的不等式，求得a的值；若是等腰三角形，分情况讨论，解方程即可求得a的值．
解答：精英家教网解：（1）∵S△AOC：S△BOC=1：3，
∴OA：OB=1：3，
则-3x1=3x，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，即
x1+x2
2
=1，
∴x1=-1，x2=3，
∴抛物线的解析式是：y=a（x+1）（x-3），即y=ax2-2ax-3a；

（2）在解析式y=-x-3中，令x=0，解得：y=3．
则C的坐标是（0，-3）．
∴抛物线的解析式y=ax2-2ax-3a中-3a=-3，
∴a=1，
∴二次函数的解析式是：y=x2-2x-3，
∴OB=OC=3，则△OBC是等腰直角三角形．
∴∠AMC=90°，
∴△AMC是等腰直角三角形．
AC=
OA2+OC2
=
1+3
=
10
，
∴半径MA=MC=
2
2
×
10
=
5
．
∴S扇形AMC=
90π×(
5
)2
360
=
5
4
π；
过M作MD⊥x轴于点D，则OD=1，AD=OA+DO=2，
∴MD=
MA2-AD2
=1，
则M的坐标是（1，-1）．
过F作FE⊥x轴与E．
∵M是AF的中点．
∴FE=2MD=2，AE=2AD=4，
则OE=3．
∴F的坐标是（3，-2）．
直线AF的斜率是：-
1
2
．精英家教网
则过F点的直线的斜率是2．
则函数解析式是：y+2=2（x-3），即y=2x-8；

（3）在（1）的条件下：AB=4，OC=3a，
∴AC2=1+9a2，BC2=9+9a2，AB2=16．
当△ABC是钝角三角形时，AC2+BC2＜AB2时，1+9a2+9+9a2＜16，
解得：0＜a＜
3
3
；
AC2+AB2＞BC2时，1+9a2+16＜9+9a2，无解；
当BC2+AB2＜AC2时，9+9a2+16＜1+9a2，无解．
故当0＜a＜
3
3
时，△ABC是钝角三角形．
当△ABC是等腰三角形时，若AC=AB，则1+9a2=16，解得：a=
15
3
；
当BC=AB时，9+9a2=16，解得：a=
7
3
．
故当a=
15
3
或
7
3
时，△ABC是等腰三角形．
点评：本题主要考查了二次函数与圆，二次函数与一次函数之间的综合应用，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象经过A（1，1）、B （2，4）和C三点．
（1）用含a的代数式分别表示b、c；
（2）设抛物线y=ax2+bx+c顶点坐标（p，q），用含a的代数式分别表示p、q；
（3）当a＞0时，求证：p＜
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，q≤1．
设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且∠精英家教网ACB=90度．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△BDP的外接圆半径等于
 
．
如图，设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A（-1，0），B（m精英家教网，0），与y轴交于点C（0，-2），且∠ACB=90度．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E，求点D和点E的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使以点P，B，D为顶点的三角形与三角形AEB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
精英家教网设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A（-l，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式：
（2）问抛物线上是否存在一点M，使得S△ABM=2S△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=-x-1交抛物线于另一点E．
①求tan∠ABD的值：
②若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．
已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，-
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）和（m-b，精英家教网m2-mb+n），其中 a，b，c，m，n为实数，且a，m不为0．
（1）求c的值；
（2）设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0），求x1?x2的值；
（3）当-1≤x≤1时，设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0丨的最小值．

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