Question

（2009•卢湾区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F．
（1）当时，求线段BF的长；
（2）当点F在边BC上时，设AD=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，及其定义域；
（3）当时，求线段AD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意先求出AC，BC的长，由AE⊥CD和∠ACB=90°，证明出∠CAF=∠BCD，再由，可知，求得CF，从而求得线段BF的长；
（2）通过分析，作辅助线，过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，根据平行线的性质得：，再由（1）得，根据以上两个式子求出y关于x的函数解析式，
（3）分两种情况：①当点F在线段BC上时，②当点F在CB延长线上时，求得线段AD的长为或．
解答：解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，，
∴BC=4，AC=3，（1分）
∵AE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCD（2分）
∴，
又∵∠ACB=90°，AC=3，
∴CF=，BF=（1分）

（2）过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，（1分）

∴，即①（1分）
在Rt△ACF与Rt△CBG中，
由（1）得tan∠CAF=tan∠BCD，

∴，即，②（1分）
由①②得，（2分）

（3）1°当点F在线段BC上时，
把代入解得，（2分）
2°当点F在CB延长线上时，
设AD=x，由（2）同理可得，解得（2分）
综上所述当时，线段AD的长为或（1分）
点评：本题主要考查了三角函数的应用，用到了分类讨论的思想，是一道综合题难度大．