Question

【题目】如图所示，点C为线段OB的中点，D为线段OA上一点．连结AC、BD交于点P．

（问题引入）（1）如图1，若点P为AC的中点，求的值．

温馨提示：过点C作CE∥AO交BD于点E．

（探索研究）（2）如图2，点D为OA上的任意一点（不与点A、O重合），求证：．

（问题解决）（3）如图2，若AO=BO，AO⊥BO，，求tan∠BPC的值．

Answer 1

【答案】（1）；(2) 见解析；(3)

【解析】

（1）过点C作CE∥OA交BD于点E，即可得△BCE∽△BOD，根据相似三角形的性质可得，再证明△ECP≌△DAP，由此即可求得的值；（2）过点D作DF∥BO交AC于点F，即可得，，由点C为OB的中点可得BC=OC，即可证得；（3）由（2）可知=，设AD=t，则BO=AO=4t，OD=3t，根据勾股定理求得BD=5t，即可得PD=t，PB=4t，所以PD=AD，从而得∠A=∠APD=∠BPC，所以tan∠BPC=tan∠A=．

（1）如图1，过点C作CE∥OA交BD于点E，

∴△BCE∽△BOD，

∴=，

又BC=BO，∴CE=DO．

∵CE∥OA，∴∠ECP=∠DAP，

又∠EPC=∠DPA，PA=PC，

∴△ECP≌△DAP，

∴AD=CE=DO，

即 =；

（2）如图2，过点D作DF∥BO交AC于点F，

则 =， =．

∵点C为OB的中点，

∴BC=OC，

∴=；

（3）如图2，∵=，

由（2）可知==．

设AD=t，则BO=AO=4t，OD=3t，

∵AO⊥BO，即∠AOB=90°，

∴BD==5t，

∴PD=t，PB=4t，

∴PD=AD，

∴∠A=∠APD=∠BPC，

则tan∠BPC=tan∠A==．