题目内容
如图△ABC中，AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E．则下列结论：①△ADE≌△BDF；②AE=CE+CB；③∠ADB=∠ACB．其中一定成立的个数是（ ）分析：根据条件可以得出△ADE≌△BDF，由全等三角形的性质就可以得出AE=BF，由△CDE≌△CDF就可以得出CE=CF，就可以得出AE=CE+CB，由四边形的内角和可以得出∠ACB=∠FDE，再由等式的性质就可以得出∠ADB=∠EDF而得出结论．
解答：解：∵点D在AB的垂直平分线上，
∴DA=DB．
∵DC平分∠ACF，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E．
∴∠AED=∠CED=∠CFD=90°，DE=DF．
在Rt△ADE和Rt△BDF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴AF=BF，∠ADE=∠BDF．
在Rt△CDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE=CF．
∵BF=BC+CF，
∴AE=BC+CE故②正确；
∵∠EDF+∠CED+∠CFD+∠ECF=360°，
∴∠EDF+90°+90°+∠ECF=360°．
∴∠EDF+∠ECF=180°．
∵∠ACB+∠ECF=180°，
∴∠ACB=∠EDF．
∵∠ADE=∠BDF．
∴∠ADE+∠BDE=∠BDF+∠BDE．
即∠ADB=∠FDE，
∴∠ACB=∠ADB．故③正确．
∴正确的有3个．
故选A．
∴DA=DB．
∵DC平分∠ACF，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E．
∴∠AED=∠CED=∠CFD=90°，DE=DF．
在Rt△ADE和Rt△BDF中
|
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴AF=BF，∠ADE=∠BDF．
在Rt△CDE和Rt△CDF中
|
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE=CF．
∵BF=BC+CF，
∴AE=BC+CE故②正确；
∵∠EDF+∠CED+∠CFD+∠ECF=360°，
∴∠EDF+90°+90°+∠ECF=360°．
∴∠EDF+∠ECF=180°．
∵∠ACB+∠ECF=180°，
∴∠ACB=∠EDF．
∵∠ADE=∠BDF．
∴∠ADE+∠BDE=∠BDF+∠BDE．
即∠ADB=∠FDE，
∴∠ACB=∠ADB．故③正确．
∴正确的有3个．
故选A．
点评：本题考查了全等三角形的额判定与性质的运用，角平分线的性质的运用，线段的处置平分线的性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．
练习册系列答案
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如图△ABC中，AB=AC，M是BC中点，D，E分别在AB，AC上，且BD=CE，求证：ME=MD．
已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE，
如图△ABC中，AB=6，AC=