Question

1.问题1  已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=DF，则的值为_____．

2.拓展

问题2  已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．

3.推广

问题3  如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

 

Answer 1

 

1.的值为  1

2.证明：如图9．

∵CB=CA，

            ∴∠CAB=∠CBA．

            ∵∠MAC=∠MBC，

            ∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，

            即∠MAB=∠MBA．

            ∴MA=MB．

            ∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，

            ∴∠AFM=∠BEM=90°．

   在△AFM与△BEM中，

          ∠AFM=∠BEM，

              ∠MAF =∠MBE，

              MA=MB，

∴△AFM≌△BEM．

∵点D是AB边的中点，

∴BD = AD．

在△BDE与△ADF中，

          BD = AD，

              ∠DBE =∠DAF，

              BE = AF，

∴△BDE≌△ADF．              

∴DE=DF． 

 

3.解：DE=DF．

证明：分别取AM，BM的中点G，H，连接DG，FG，DH，EH．（如图10）

∵点D，G，H分别是AB，AM，BM的中点，

∴DG∥BM，DH∥AM，且DG=BM，DH=AM．

∴四边形DHMG是平行四边形．

∴∠DHM =∠DGM，

∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，

∴∠AFM=∠BEM=90°．

∴FG=AM=AG，EH=BM=BH． 

∴FG= DH，DG= EH，    ∠GAF=∠GFA，∠HBE =∠HEB．

∴∠FGM =2∠FAM，∠EHM =2∠EBM．

∵∠FAM=∠EBM，

∴∠FGM =∠EHM．

∴∠DGM+∠FGM =∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．

在△EHD与△DGF中，

          EH = DG，

              ∠EHD =∠DGF，

              HD = GF，

∴△EHD≌△DGF．              

∴DE=DF． 

 

解析:略