Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．

（1）求证：BC＝CD；

（2）求证：∠ADE＝∠ABD；

（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．

 

Answer 1

解：（1）∵∠ABC＝90°， ∴OB⊥BC．.

∵OB是⊙O的半径， ∴CB为⊙O的切线．.

又∵CD切⊙O于点D， ∴BC＝CD；.

（2）∵BE是⊙O的直径， ∴∠BDE＝90°．

∴∠ADE＋∠CDB ＝90°．.

又∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＋∠CBD＝90°．.

由（1）得BC＝CD，∴∠CDB ＝∠CBD．

∴∠ADE＝∠ABD；.

（3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．

∴△ADE∽△ABD．. ∴＝．.

∴＝，∴BE＝3，.

∴所求⊙O的直径长为3．.