题目内容
如图，矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E为BC上一点，将纸片沿AE翻折，使点E与CD边上的点F重合．（1）求线段EF的长；
（2）若线段AF上有动点P（不与A、F重合），如图（2），点P自点A沿AF方向向点F运动，过点P作PM∥EF，PM交AE于M，连接MF，设AP=x（cm），△PMF的面积为y（cm）2，求y与x的函数关系式；
（3）在题（2）的条件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，请说明理由．
分析：（1）根据折叠的性质知AB=AF=10cm，可在Rt△ADF中根据勾股定理求出DF的长，进而可求出CF的值；在Rt△CEF中，根据折叠的性质知BE=EF，可用EF表示出CE，进而由勾股定理求出EF的长；
（2）由于PM∥EF，而∠AFE=∠ABE=90°，因此PM⊥AF；在（1）中已经求得AF、EF的长，易证得△APM∽△AFE，根据相似三角形所得比例线段即可求得PM的表达式；知道了Rt△PMF两条直角边的长，即可求出其面积，由此可得到关于y、x的函数关系式；
（3）在Rt△PMF中，根据PM、MF的表达式，即可由勾股定理求得MF的表达式；若△FME是等腰三角形，则可能有三种情况：①MF=ME，②MF=EF，③ME=EF；可根据上述三种情况所得不同等量关系求出x的值．
（2）由于PM∥EF，而∠AFE=∠ABE=90°，因此PM⊥AF；在（1）中已经求得AF、EF的长，易证得△APM∽△AFE，根据相似三角形所得比例线段即可求得PM的表达式；知道了Rt△PMF两条直角边的长，即可求出其面积，由此可得到关于y、x的函数关系式；
（3）在Rt△PMF中，根据PM、MF的表达式，即可由勾股定理求得MF的表达式；若△FME是等腰三角形，则可能有三种情况：①MF=ME，②MF=EF，③ME=EF；可根据上述三种情况所得不同等量关系求出x的值．
解答：解：（1）根据折叠的性质知：∠ABE=∠AFE=90°，AB=AF=10cm，EF=BE；
Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm；由勾股定理得：DF=6cm；
∴CF=CD-DF=10-6=4cm；
在Rt△CEF中，CE=BC-BE=BC-EF=8-EF，由勾股定理得：
EF2=CF2+CE2，即EF2=42+（8-EF）2，解得EF=5cm；
（2）∵PM∥EF，
∴PM⊥AF，△APM∽△AFE；
∴
=
，即
=
，PM=
；
在Rt△PMF中，PM=
，PF=10-x；
则S△PMF=
（10-x）•
=-
x2+
x；（0＜x＜10）
（3）在Rt△PMF中，由勾股定理，得：
MF=
=
；
同理可求得AE=
=5
，AM=
=
x；
∴ME=5
-
x；
若△FME能否是等腰三角形，则有：
①MF=ME，则MF2=ME2，即：
x2-20x+100=（5
-
x）2，解得x=5；
②MF=EF，则MF2=EF2，即：
x2-20x+100=25，化简得：x2-16x+60=0，解得x=6，x=10（舍去）；
③ME=EF，则有：
5
-
x=5，解得x=10-2
；
综上可知：当AP的长为5cm或6cm或（10-2
）cm时，△FME是等腰三角形．
Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm；由勾股定理得：DF=6cm；
∴CF=CD-DF=10-6=4cm；
在Rt△CEF中，CE=BC-BE=BC-EF=8-EF，由勾股定理得：
EF2=CF2+CE2，即EF2=42+（8-EF）2，解得EF=5cm；
（2）∵PM∥EF，
∴PM⊥AF，△APM∽△AFE；
∴
| PM |
| EF |
| AP |
| AF |
| PM |
| 5 |
| x |
| 10 |
| x |
| 2 |
在Rt△PMF中，PM=
| x |
| 2 |
则S△PMF=
| 1 |
| 2 |
| x |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
（3）在Rt△PMF中，由勾股定理，得：
MF=
| PM2+FP2 |
|
同理可求得AE=
| AB2+BE2 |
| 5 |
| AP2+PM2 |
| ||
| 2 |
∴ME=5
| 5 |
| ||
| 2 |
若△FME能否是等腰三角形，则有：
①MF=ME，则MF2=ME2，即：
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| ||
| 2 |
②MF=EF，则MF2=EF2，即：
| 5 |
| 4 |
③ME=EF，则有：
5
| 5 |
| ||
| 2 |
| 5 |
综上可知：当AP的长为5cm或6cm或（10-2
| 5 |
点评：此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的判定等重要知识点，在等腰三角形的腰和底不明确的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．
练习册系列答案
孟建平小学滚动测试系列答案
相关题目
如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=4
把△ABC、△ADC沿对角线AC翻折交AD、BC于点F、E．
，将矩形沿对角线AC剪开，解答以下问题：
），△A2C1D3是平移后的新位置（图C），若△ABC与△A2C1D3重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式．
，将矩形沿对角线AC剪开，解答以下问题：
），△A2C1D3是平移后的新位置（图C），若△ABC与△A2C1D3重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式．
，将矩形沿对角线AC剪开，解答以下问题：
），△A2C1D3是平移后的新位置（图C），若△ABC与△A2C1D3重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式．
