Question

如图，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①AD=BF；②∠BAE=∠FBC；③S_△ADB=S_△ADC；④AC+CD=AB；⑤AD=2BE．其中正确的结论有

①②④⑤

．（填写番号）

Answer 1

分析：证△ACD≌△BCF，推出AD=BF，证△AEB≌△AEF推出BE=EF，推出AD=BF=2BE，求出BD＞CD，根据三角形面积求出△ACD的面积小于△ADB面积，求出AC=AQ，CQ=BQ=CD，即可求出AC+CD=AB．

解答：解：∵∠ACB=90°，BF⊥AE，
∴∠BCF=∠ACD=∠BEA=∠AEF=90°，
∵∠BDE=∠ADC，
∴由三角形内角和定理得：∠CAD=∠CBF，
在△ACD和△BCF中，

∠ACD=∠BCF AC=BC ∠CAD=∠CBF

，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD=BF，∴①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵∠CBF=∠FAE，
∴∠BAE=∠FBC，∴②正确；
过D作DQ⊥AB于Q，
则BD＞DQ，
∵AE平分∠BAC，BC⊥AC，DQ⊥AB，
∴DC=DQ，
∴BD＞CD，
∵△ADB的边BD上的高和△ABD的面积大于△ACD的面积，∴③错误；
∵∠ACB=90°，AC=BC，ACD的边CD上的高相等，
∴根据三角形面积公式得：△
∴∠DBQ=45°，
∵DQ⊥AB，
∴∠DQB=∠AQD=∠ACD=90°，
∴∠BDQ=∠DBQ=45°，
∴BQ=DQ=CD，
在直角△ACD和直角△AQD中，AD=AD，CD=DQ，由勾股定理得：AC=AQ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CD，∴④正确；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
在△AEB和△AEF中，

∠AEB=∠AEF AE=AE ∠BAE=∠FAE

，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴BE=EF，
∴BF=2BE，
∵AD=BF，
∴AD=2BE，∴⑤正确；
故答案为：①②④⑤．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．