Question

如图，相距40km的两个城镇A，B之间有一个圆形湖泊，它的圆心落在AB连线的中点O，半径为10km．现要修建一条连接两城镇的公路．经过论证，认为AA′++BB′为最短路线（其中AA′，BB′都与⊙O相切）．

（1）你能计算出这段公路的长度吗？（结果精确到0.1km）

（2）阴影部分的面积是多少？（结果精确到1km²）

Answer 1

 

考点： 扇形面积的计算；弧长的计算． 

专题： 应用题．

分析： （1）连结OA′、OB′，如图，根据切线的性质得OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，再计算出OA=OB=AB=20，在Rt△OAA′中，利用正弦的定义可求出∠A=30°，则∠AOA′=60°，AA′=OA′=10，同理可得∠BOB′=60°，BB′=10，于是∠A′OB′=60°，接着根据弧长公式计算出弧A′B′的长度，然后求AA′++BB′的值即可；

（2）用△AA′O与△BB′O的面积减去扇形A′OC和扇形B′OD的面积即可．

解答： 解：（1）连结OA′、OB′，如图，

∵AA′，BB′都与⊙O相切，

∴OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，

∵点O为AB的中点，

∴OA=OB=AB=20，

而OA′=OB′=10，

在Rt△OAA′中，∵sin∠A===，

∴∠A=30°，

∴∠AOA′=60°，AA′=OA′=10，

同理可得∠BOB′=60°，BB′=10，

∴∠A′OB′=60°，

∴弧A′B′的长度==π，

∴这段公路的长度=10+π+10≈45.1（km）；

 

（2）S_△AA′O=•sin∠A=×10×20×=50，

S_△B′OB=S_△AA′O=50，

S_扇形A′OC===，同理可得，S_扇形B′OB=，

所以S_阴影=S_△AA′O+S_△B′OB﹣S_扇形A′OC ﹣S_扇形B′OB=2×50﹣2×=100π=277.9（km²）．

点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了弧长公式，扇形的面积公式，作出适当的辅助线是解答此题的关键．