Question

（11·大连）（本题12分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB
＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
（1）当AB＝AC时，（如图13），
① ∠EBF＝_______°；
② 探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当AB＝kAC时（如图14），求的值（用含k的式子表示）．
  

Answer 1

解：（1）①22.5°…………………………2分

证明：如图1，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H

则∠GDB＝∠C   ∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB

又∵DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°
∴△DEB≌△DEG

∵AB＝AC   ∠A＝90°
∴∠ABC＝∠C＝∠GDB
∴HB＝HD
∵∠DEB＝∠BHD＝90°    ∠BFE＝∠DFH
∴∠EBF＝∠HDF
∴△GBH≌△FDH
∴GB＝FD…………………………6分

（2）如图1，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H

又∵DG∥CA
∴△BHD∽△BAC

第二种解法：
解：（1）①∵AB＝AC∠A＝90°
∴∠ABC＝∠C＝45°
∵∠EDB＝∠C
∴∠EDB＝22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD＝67.5°
∴∠EBF＝67.5°－45°＝22.5°
②在△BEF和△DEB中
∵∠E＝∠E＝90°
∠EBF＝∠EDB＝22.5°
∴△BEF∽△DEB
如图：BG平分∠ABC，

∴BG＝GD△BEG是等腰直角三角形
设EF＝x，BE＝y，
则：BG＝GD＝y
FD＝y＋y－x
∵△BEF∽△DEB
∴ ＝
即：＝
得：x＝（－1）y
∴FD＝y＋y－（－1）y＝2y
∴FD＝2BE．
（2）如图：作∠ACB的平分线CG，交AB于点G，

∵AB＝kAC
∴设AC＝b，AB＝kb，BC＝b
利用角平分线的性质有：＝
即：＝
得：AG＝
∵∠EDB＝∠ACB
∴tan∠EDB＝tan∠ACG＝
∵∠EDB＝∠ACB
∠ABC＝90°－∠ACB
∴∠EBF＝90°－∠ABC－∠EDB＝∠ACB
∴△BEF∽△DEB
∴EF＝BE
ED＝BE＝EF＋FD
∴FD＝BE－BE＝BE．
∴ ＝．解析:
略