题目内容
已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3），现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒。
（1）填空：菱形ABCD的边长是_______、面积是______、 高BE的长是_______；
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值。
（1）填空：菱形ABCD的边长是_______、面积是______、 高BE的长是_______；
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值。
解：（1）5，24， ； |
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| （2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t， 如图1，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得 △AQG∽△ABE， ∴  ， ∴QG=  ， ∴  （ ≤t≤5），∵  （ ≤t≤5），∴当t= 时，S最大值为6；② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可， 当t=4秒时， ∵点P的速度为每秒1个单位， ∴AP=4， 以下分两种情况讨论： 第一种情况：当点Q在CB上时， ∵PQ≥BE>PA， ∴只存在点Q1，使Q1A=Q1P， 如图2，过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交 AC于点F，则AM=  ，由△AMF∽△AOD∽△CQ1F，得  ， ∴  ， ∴  ，∴CQ1=  ，则 ，∴  ，第二种情况：当点Q在BA上时，存在两点Q2，Q3，分别使AP=AQ2，PA=PQ3， ①若AP=AQ2， 如图3，CB+BQ2=10-4=6， 则  ，∴  ，②若PA=PQ3， 如图4，过点P作PN⊥AB，垂足为N， 由△ANP∽△AEB，得  ，∵AE=  ， ∴AN=  ，∴AQ3=2AN=  ，∴BC+BQ3=10-  ，则  ，∴  ，综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为  或 或 。 |
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