Question

如图1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,△ABD是等边三角形，
E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.
【小题1】求证：① △AEF≌△BEC；
② 四边形BCFD是平行四边形；
【小题2】如图2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.

Answer 1

【小题1】证明：① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,
∴ ∠ABC=60°.
在等边△ABD中，∠BAD=60°, 
∴ ∠BAD=∠ABC=60° .
∵ E为AB的中点，
∴ AE=BE. 
又∵ ∠AEF=∠BEC ,
∴ △AEF≌△BEC .  
② 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点
∴ CE=AB,BE=AB，
∴ ∠BCE=∠EBC=60° . 
又∵ △AEF≌△BEC,  
∴ ∠AFE=∠BCE=60° .
又∵ ∠D=60°, ∴ ∠AFE=∠D=60° .
∴ FC∥BD   
又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，
∴ AD∥BC，即FD∥BC      
∴ 四边形BCFD是平行四边形
【小题2】解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30° ∴∠CAH=90°
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC =a
∴ AB=2BC=2a，∴ AD=AB=2a.
设AH =" x" ，则 HC=HD=AD-AH=2a-x.    
在Rt△ABC中，AC²=(2a) ²-a²=3a².
在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=(2a-x) ².
解得 x=a，即AH=a.
∴ HC=2a-x=2a-a=a     

解析