题目内容

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…，按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，证△DOA∽△ABA₁，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出AB，BA₁，求出边长A₁C= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求出面积即可；求出第2个正方形的边长是（ $\text{[math]}$ ）²× $\text{[math]}$ ，求出面积，再求出第3个正方形的面积；依此类推得出第2013个正方形的边长，求出面积即可．
解答：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵AB=AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BA₁= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴第1个正方形A₁B₁C₁C的边长A₁C=A₁B+BC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
面积是（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）²=5×（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
同理第2个正方形的边长是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）² $\text{[math]}$ ，面积是[（ $\text{[math]}$ ）² $\text{[math]}$ ]²=5×（ $\text{[math]}$ ）⁴；）
第3个正方形的边长是（ $\text{[math]}$ ）³ $\text{[math]}$ ，面积是5×（ $\text{[math]}$ ）⁶；
…，
第2013个正方形的边长是（ $\text{[math]}$ ）²⁰¹³× $\text{[math]}$ ，面积是5×（ $\text{[math]}$ ）^2×2013=5×（ $\text{[math]}$ ）⁴⁰²⁶，
故选B．
点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目