Question

（2013•本溪三模）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形．
①求sin∠ABC．
②将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后得到的三角形，并求出旋转过程中线段AB扫过的面积．

Answer 1

分析：①利用勾股定理求出AB、AC、BC的长，然后利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；
②根据网格结构找出点A、B旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点C顺次连接即可，再根据线段AB扫过的面积等于以BC、AC为半径的两个扇形的面积的差列式计算即可得解．

解答：解：①由勾股定理得，AB=

12+12

=

2

，
AC=

22+22

=2

2

，
BC=

12+32

=

10

，
∵AB²+AC²=

2

²+（2

2

）²=2+8=10=BC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠ABC=

AC

BC

=

2 2

10

=

2 5

5

；

②线段AB扫过的面积=

90•π• 10 2

360

-

90•π•(2 2 )2

360

=

π

2

．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，勾股定理的应用，扇形面积的计算，勾股定理逆定理的应用，②理解线段AB扫过的面积的表示方法是解题的关键．