Question

设直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为S_k，则S₁+S₂+S₃+‥‥‥+S₂₀₁₁的值是______．

Answer 1

方程组

y=kx+k-1 y=(k+1)x+k

的解为

x=-1 y=-1

，
所以直线的交点是（-1，-1），
直线y=kx+k-1与x轴的交点为 (

1-k

k

，0)，y=（k+1）x+k与x轴的交点为（

-k

k+1

，0），
∴S_k=

1

2

×|-1|×|

1-k

k

-

-k

k+1

|=

1

2

|

1

k

-

1

k+1

|，
所以 S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₁=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

）
=

1

2

×（1-

1

2012

）
=

1

2

×

2011

2012

=

2011

4024

．
故答案为：

2011

4024

．