Question

如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD各个顶点的坐标分别是O（0，0），B（2，6），C（8，9），D（10，0）；
（1）三角形BCD的面积=______
（2）将点C平移，平移后的坐标为C′（2，8+m）；
①若S_△BDC′=32，求m的值；
②当C′在第四象限时，作∠C′OD的平分线OM，OM交于C′C于M，作∠C′CD的平分线CN，CN交OD于N，OM与CN相交于点P（如图2），求的值．

Answer 1

解：（1）三角形BCD的面积为：×6×10=30；
故答案为：30；

（2）①当C在x轴上方，如图1所示：
∵S_△BDC′=32，
D到BC″的距离为8，
∴BC″=8，
∵B（2，6），
∴8+m=14，
∴m=6，
∵AB=6，BC′=8，
∴C′在x轴下方，且AC′=2，
∴8+m=-2，
∴m=-10，
即m=6或m=-10；

②如图2，
在△OC′M中，∵∠OMC是∠OMC′的外角，
∴∠2+∠6=∠OMC，
在△PMC中，∵∠OMC是∠CMP的外角，
∴∠4+∠P=∠OMC，
∴∠2+∠6=∠4+∠P，
在△CND中，∵∠ONC是∠CND的外角，
∴∠3+∠7=∠ONC，
在△ONP中，∵∠ONC是∠ONP的外角，
∴∠1+∠P=∠ONC，
∴∠3+∠7=∠1+∠P，
∴∠3+∠7+∠2+∠6=∠4+∠P+∠1+∠P，
∵∠2=∠1，∠3=∠4，
∴∠6+∠7=2∠P，
∴∠ODC+∠CC′O=2∠P，
∴=．
分析：（1）三角形BCD的面积=正方形的面积-3个小三角形的面积；
（2）①分平移后的坐标为C′在B点的上方；在B点的下方两种情况讨论可求m的值；
②利用外角以及角平分线的性质得出∠ODC+∠CC′O=2∠P，即可得出答案．
点评：此题主要考查了外角的性质以及三角形面积求法和点坐标性质等知识，利用数形结合得出C′的不同位置是解题关键．