Question

如图①，在矩形ABCD中，AB=

3

，BC=3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；
（3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．

Answer 1

分析：（1）过P作PQ垂直于BC，垂足为Q，由四边形ABCD为矩形，得到∠B为直角，且AD平行于BC，得到PQ=AB，又三角形PEF为等边三角形，根据“三线合一”得到∠FPQ为30°，在直角三角形FPQ中，设出QF为x，则PF=2x，由PQ的长，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得到PF的长，即为等边三角形的边长；
（2）PH-BE=1，过E作ER垂直于AD，如图所示，首先证明△APH为等腰三角形，在根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得∠APE=60°，在直角三角形EPR中，∠REP=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由PE求出PR，由PA=PH，则PH-BE=PA-BE=PA-AR=PR，即可得到两线段的关系；
（3）当若△PEF的边EF在射线CB上移动时（2）中的结论不成立，由（2）的解题思路可知当1＜CF＜2时，PH=1-BE，当2＜CF＜3时，PH=BE-1．

解答：解：（1）过P作PQ⊥BC于Q（如图1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又∵AD∥BC，
∴PQ=AB=

3

，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PFQ=60°，
在Rt△PQF中，∠FPQ=30°，
设PF=2x，QF=x，PQ=

3

，根据勾股定理得：（2x）²=x²+（

3

）²，
解得：x=1，故PF=2，
∴△PEF的边长为2；

（2）PH-BE=1，理由如下：
∵在Rt△ABC中，AB=

3

，BC=3，
∴由勾股定理得AC=2

3

，
∴CD=

1

2

AC，
∴∠CAD=30°
∵AD∥BC，∠PFE=60°，
∴∠FPD=60°，
∴∠PHA=30°=∠CAD，
∴PA=PH，
∴△APH是等腰三角形，
作ER⊥AD于R（如图2）
Rt△PER中，∠RPE=60°，
∴PR=

1

2

PE=1，
∴PH-BE=PA-BE=PR=1．

（3）结论不成立，
当1＜CF＜2时，PH=1-BE，
当2＜CF＜3时，PH=BE-1．

点评：此题综合考查了矩形的性质，等腰三角形的判别与性质、等边三角形的性质及直角三角形的性质．学生作第三问时，应借助第二问的结论，结合图形，多次利用数学中等量代换的方法解决问题，这就要求学生在作几何题时注意合理运用各小题之间的联系．