题目内容
已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=
，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．
（2）求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标．
（3）线段OB与抛物线交与点E，点P为线段OE上一动点（点P不与点O，点E重合），过P点作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得PD=CM？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）在Rt△AOB中，根据AO的长和∠BOA的度数，可求得OB的长，根据折叠的性质即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，过C作CD⊥x轴于D，即可根据∠COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C、A的坐标，将A、C、O的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）求出直线BO的解析式，进而利用x=
求出y的值，即可得出D点坐标；
（3）根据（1）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线MP与x轴的交点为N，且PN=t，在Rt△OPN中，根据∠PON的度数，易得PN、ON的长，即可得到点P的坐标，然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标，过M作MF⊥CD（即抛物线对称轴）于F，过P作PQ⊥CD于Q，若PD=CM，那么CF=QD，根据C、M、P、D四点纵坐标，易求得CF、QD的长，联立两式即可求出此时t的值，从而求得点P的坐标．
解答：
解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=
，
∴OB=
=4，AB=2；
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2
，
∴∠COH=60°，OH=
，CH=3；
∴C点坐标为（
，3）．
∵O点坐标为：（0，0），
∴抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
∵图象经过C（
，3）、A（2
，0）两点，
∴
，
解得
；
∴此抛物线的函数关系式为：y=-x2+2
x．
（2）∵AO=2
，AB=2，
∴B点坐标为：（2
，2），
∴设直线BO的解析式为：y=kx，
则2=2
k，
解得：k=
，
∴y=
x，
∵y=-x2+2
x的对称轴为直线x=-
=-
=
，
∴将两函数联立得出：y=
×
=1，
∴抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标为：（
，1）；
（3）存在．
∵y=-x2+2
x的顶点坐标为（
，3），
即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=
t，
∴P（
t，t）；
作PQ⊥CD，垂足为Q，MF⊥CD，垂足为F；
把x=
t代入y=-x2+2
x，
得y=-3t2+6t，
∴M（
t，-3t2+6t），F（
，-3t2+6t），
同理：Q（
，t），D（
，1）；
要使PD=CM，只需CF=QD，
即3-（-3t2+6t）=|t-1|，
解得t=
，t=1（舍），t=
，
∴P点坐标为（
，
），或（
，
），
∴存在满足条件的P点，使得PD=CM，此时P点坐标为（
，
）或（
，
）．
点评：此题主要考查了图形的旋转变化、解直角三角形、二次函数解析式的确定等重要知识点，表示出P点坐标利用CF=QD求出是解题关键．
（2）求出直线BO的解析式，进而利用x=
求出y的值，即可得出D点坐标；（3）根据（1）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线MP与x轴的交点为N，且PN=t，在Rt△OPN中，根据∠PON的度数，易得PN、ON的长，即可得到点P的坐标，然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标，过M作MF⊥CD（即抛物线对称轴）于F，过P作PQ⊥CD于Q，若PD=CM，那么CF=QD，根据C、M、P、D四点纵坐标，易求得CF、QD的长，联立两式即可求出此时t的值，从而求得点P的坐标．
解答：
解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=
，∴OB=
=4，AB=2；由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2
，∴∠COH=60°，OH=
，CH=3；∴C点坐标为（
，3）．∵O点坐标为：（0，0），
∴抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
∵图象经过C（
，3）、A（2，0）两点，∴
，解得
；∴此抛物线的函数关系式为：y=-x2+2
x．（2）∵AO=2
，AB=2，∴B点坐标为：（2
，2），∴设直线BO的解析式为：y=kx，
则2=2
k，解得：k=
，∴y=
x，∵y=-x2+2
x的对称轴为直线x=-=-=，∴将两函数联立得出：y=
×=1，∴抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标为：（
，1）；（3）存在．
∵y=-x2+2
x的顶点坐标为（，3），即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=
t，∴P（
t，t）；作PQ⊥CD，垂足为Q，MF⊥CD，垂足为F；
把x=
t代入y=-x2+2x，得y=-3t2+6t，
∴M（
t，-3t2+6t），F（，-3t2+6t），同理：Q（
，t），D（，1）；要使PD=CM，只需CF=QD，
即3-（-3t2+6t）=|t-1|，
解得t=
，t=1（舍），t=，∴P点坐标为（
，），或（，），∴存在满足条件的P点，使得PD=CM，此时P点坐标为（
，）或（，）．点评：此题主要考查了图形的旋转变化、解直角三角形、二次函数解析式的确定等重要知识点，表示出P点坐标利用CF=QD求出是解题关键．
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