题目内容

（2013•黄埔区一模）如图，Rt△ADE可由Rt△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，点B、C的坐标分别为（3，0），（1，4）．
（1）写出点E的坐标，并利用尺规作图直接在图中作出旋转中心Q（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求直线AE对应的函数关系式；
（3）将△ADE沿垂直于x轴的线段PT折叠，（点T在x轴上，点P在AE上，P与A、E不重合）如图，使点A落在x轴上，点A的对应点为点F．设点T的坐标为（x，0），△PTF与△ADE重叠部分的面积为S．
①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
②当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？
③是否存在这样的点T，使得△PEF为直角三角形？若存在，直接写出点T的坐标；若不存在，请说有理由．
分析：（1）根据旋转前、后的图形全等，可知△ABC≌△DEA，则AB=DE=2，AC=DA=4，由此求出点E的坐标；根据对应点到旋转中心的距离相等可知旋转中心Q既在线段AD的垂直平分线上，又在线段BE的垂直平分线上，为此，作出线段AD与线段BE的垂直平分线，它们的交点即为Q；
（2）设直线AE的函数关系式为y=kx+b，将A、E两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出；
（3）①分两种情况：（i）当点F在AD之间时，1＜x≤3，重叠部分是△PTF，由S△PTF=
1
2
TF•PT=
1
2
AT•PT，可求出S与x之间的函数关系式；（ii）当点F在点D的右边时，3＜x＜5，重叠部分是梯形PTDH，由S梯形PTDH=
1
2
（PT+HD）•TD，可求出S与x之间的函数关系式；
②分两种情况：（i）1＜x≤3；（ii）3＜x＜5，由①中所求的S与x之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合自变量的取值范围，即可求解；
③由于tan∠EAD=
1
2
，所以∠EAD≠45°，∠APT≠45°，∠APF≠90°，则∠EPF≠90°，当△PEF为直角三角形时，分两种情况进行讨论：（i）当△PFE以点E为直角顶点时，作EF⊥AE交x轴于F，由△AED∽△EFD，根据相似三角形对应边的边相等列出比例式，即可求解；（ii）当△P′F′E以点F′为直角顶点时，由△AED∽△EF′D，根据相似三角形对应边的边相等列出比例式，即可求解．
解答：解：（1）∵Rt△ADE可由Rt△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，
∴△ADE≌△CAB，
∴AD=CA=4，DE=AB=2，
∴OD=OA+AD=1+4=5，
∴E点坐标为（5，2）．
连接BE，作出线段AD与线段BE的垂直平分线，它们的交点即为Q；                

（2）设直线AE对应的函数关系式为y=kx+b，
∵A（1，0），E（5，2），
∴
k+b=0
5k+b=2
，解得
k=
1
2
b=-
1
2
，
∴直线AE对应的函数关系式为y=
1
2
x-
1
2
；

（3）①分两种情况：
（i）当点F在AD之间时，重叠部分是△PTF，如图．
∵点P在AE：y=
1
2
x-
1
2
上，PT⊥x轴，点T的坐标为（x，0），
∴PT=
1
2
x-
1
2
．
∵OT=x，OA=1，
∴AT=OT-OA=x-1，
∴TF=AT=x-1．
∵S△PTF=
1
2
TF•PT=
1
2
AT•PT=
1
2
（x-1）•（
1
2
x-
1
2
）=
1
4
（x-1）2，
∴S=
1
4
x2-
1
2
x+
1
4
．
∵当F与D重合时，AT=
1
2
AD=2，
∴1＜x≤3；
（ii）当点F在点D的右边时，重叠部分是梯形PTDH．
∵∠DFH=∠DAE，∠FDH=∠ADE=90°，
∴△FDH∽△ADE，
∴
HD
DF
=
ED
AD
=
1
2
，
∴HD=
1
2
DF=
1
2
[2（x-1）-4]=x-3，
∴S梯形PTDH=
1
2
（PT+HD）•TD=
1
2
（
1
2
x-
1
2
+x-3）•（5-x）=-
3
4
x2+
11
2
x-
35
4
，
当T与D重合时，点F的坐标是（9，0），
∴3＜x＜5．
综上所述，S=
1
4
x2-
1
2
x+
1
4
 (0＜x≤3)
-
3
4
x2+
11
2
x-
35
4
 (3＜x＜5)
；

②（i）当1＜x≤3时，∵S=
1
4
（x-1）2，
∴S随x的增大而增大，
∴当x=3时，S有取大值，且最大值是S=
1
4
（3-1）2=1；
（ii）当3＜x＜5时，∵S=-
3
4
x2+
11
2
x-
35
4
=-
3
4
（x-
11
3
）2+
4
3
，
∴当x=
11
3
时，S有最大值，且最大值是
4
3
；
综上所述，当x=
11
3
时，S有最大值，且最大值是S=
4
3
；

③存在这样的点T（
7
2
，0）和（
5
2
，0），能够使得△PEF为直角三角形．
分两种情况：
（i）当△PFE以点E为直角顶点时，如图，作EF⊥AE交x轴于F．
∵△AED∽△EFD，
∴
DF
ED
=
ED
AD
=
1
2
，
∴DF=
1
2
DE=1，
∴点F（6，0），
∴点T（
7
2
，0）；
（ii）当△P′F′E以点F′为直角顶点时，如图．
∵△AED∽△EF′D，
∴
DF′
DE
=
DE
AD
=
1
2
，
∴DF′=
1
2
DE=1，
∴点F′（4，0），
∴点T（
5
2
，0）．
综上（i）、（ii）知，满足条件的点T坐标为（
7
2
，0）和（
5
2
，0）．
点评：本题考查了旋转的性质，线段垂直平分线的画法，运用待定系数法求一次函数的解析式，图形面积的求法，二次函数的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
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