Question

二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知AB=

3

AC，∠CAO=30°，则c=

 

．

Answer 1

分析：首先利用根与系数的关系求得A，B两点横坐标之间的关系，再进一步结合已知，利用直角三角形的边角关系，把两点横坐标用c表示，由此联立方程解决问题．

解答：解：如图，
由题意知，点C的坐标为（0，c），OC=c．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），
则x₁，x₂是方程x²+bx+c=0的两根，
由根与系数的关系得x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，
又∠CAO=30°，则AC=2c， AB=

3

AC=2

3

c；
于是，x1=OA=ACcos30°=

3

c，
x2=OB=OA+AB=3

3

c．
由x₁x₂=9c²=c，得c=

1

9

．
故答案为：

1

9

．

点评：本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点坐标特点、根与系数的关系以及直角三角形的边角关系解答问题．