题目内容

如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB= $数学公式$ ，则⊙O的半径为________．

$\text{[math]}$
分析：连OA，AB交OC于D点，设半径为R，由AB垂直平分半径OC，根据垂径定理得到DA=DB= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ，且有OD= $\text{[math]}$ OC，在Rt△AOD中，OD= $\text{[math]}$ R，利用勾股定理可得到R²=（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ R）²，即可求出R= $\text{[math]}$ ．
解答：连OA，AB交OC于D点，如图

，
设半径为R，
∵AB垂直平分半径OC，
∴DA=DB，OD= $\text{[math]}$ OC，
而AB= $\text{[math]}$ ，
∴AD= $\text{[math]}$ ，
在Rt△AOD中，OD= $\text{[math]}$ R，
∵OA²=AD²+OD²，即R²=（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ R）²，
∴R= $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．

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27、小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙0中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙0的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，PA．PB组成⊙0的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．

附加题：
（1）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是

（2）阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=

ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解答下列问题：
如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
①求抛物线和直线AB的解析式；
②点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
③点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S_△PAB=

S_△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）如图1，E，F分别是?ABCD的对角线AC上的两点，且CE=AF，求证：BE=DF
（2）如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂为点E．K为

上一动点，AK、DC的延长线相交于点F，连接CK、KD．
①求证：∠AKD=∠CKF；
②若AB=10，CD=6，求tan∠CKF的值．

如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 ，求直径AB的长．

【解析】连OC，AB垂直于弦CD，由垂径定理得到PC=PD，得到PC=3；由P是OB的中点，则OC=2OP，得∠C=30°，PC=OP，则OP= ，即可得到OC，AB

如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 ，求直径AB的长．

【解析】连OC，AB垂直于弦CD，由垂径定理得到PC=PD，得到PC=3；由P是OB的中点，则OC=2OP，得∠C=30°，PC=OP，则OP= ，即可得到OC，AB